Calcul de la température radiante moyenne

Définition

La température radiante moyenne T_r est la température uniforme des parois d’une enceinte qui provoquerait le même échange radiatif que l’environnement réel étudié. Ce dernier pouvant être complexe, intégrant des flux solaires \varphi ou des surfaces de températures très différentes, elle permet de les agréger en un seul indicateur.

Mathématiquement, cela revient à écrire ce qui suit :

\sigma \epsilon S T_r^4 = \alpha S \varphi + \sum_{i=1}^{n} S_i F_i T_i^4

où les F_i sont les facteurs de forme entre surfaces en regard à température T_i et le corps étudié.

Dans la suite, nous allons aborder la contribution du rayonnement solaire à la température radiante, puis la contribution du rayonnement infrarouge.

Contribution solaire

Une méthode brute pour calculer la composante en courte longueurs d’onde est d’appliquer la méthode du facteur de projection qui considère que le flux direct normal \varphi^\perp est appliqué sur le corps humain avec un facteur de projection tenant compte de la nature cylindrique du corps humain :

\varphi = \alpha \varphi^\perp f_p(h)

Où le facteur de projection dépend de la hauteur solaire f_p(h) = 0.233 \cos(h)+ 0.067.

Cette méthode simple peut être affinée à condition de considérer la contribution solaire comme divisée en partie diffuse \varphi_d et directe \varphi_b , traitées séparément du fait de leur nature, comme décrit dans les sections qui suivent.

Flux direct

Le flux direct arrivant sur un individu considéré comme cylindrique peut se calculer de manière analytique à partir du flux direct sur un plan horizontal \varphi_b^h , de la hauteur solaire h et de l’angle d’incidence i :

\varphi_b = \varphi_b^h \times \frac{\cos(i)}{\sin(h)}

Le flux reçu sur le cylindre est calculé analytiquement à partir de la configuration géométrique qui suit et de l’angle d’incidence \theta par rapport à la normale à la surface du cylindre :

Cela se traduit par l’intégrale suivante, dont le résultat est la surface projetée orthogonale au rayonnement, qui par la nature du cylindre, est toujours azimutale (c’est-à-dire dans l’axe des des rayons du soleil) :

\phi_{b} = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \varphi_b \cos(\theta) r H d\theta = 2 \varphi_b r H = S_p \varphi_b

Surface élémentaire exposée au flux direct.

Remarque : en pratique l’utilisation de cette méthode donne des résultats sensiblement équivalents au f_p pour le flux direct (voir section 4.1 de ce papier)

La valeur des flux directs reçus calculés par la méthode du f_p est cependant légèrement plus élevée, comme en témoigne la comparaison des modèles présentée ci-dessous.

Comparaison de la méthode du facteur de projection et du calcul intégré sur le cylindre pour une année complète.

Flux diffus

On utilise le modèle de flux diffus de Perez (plus de détails) qui considère les contributions circumsolaire, de l’horizon et du dôme isotropique, comme présenté ci-dessous :

Modèle de Perez du flux diffus et exposition d’un individu au centre de la scène.

Dans la suite, on fait l’hypothèse que les contributions du dôme ( L ) et de l’horizon ( K_2 ) sont isotropes sur le cylindre et que la contribution circumsolaire anisotrope ( K_1 ) se comporte de manière spéculaire, comme si elle éclairait « directement » la scène (voir l’illustration ci-dessous).

Contributions isotropes et anisotrope du modèle de Perez sur un cylindre.

L’équation du flux diffus reçu est donc calculée telle que :

\phi_d = 2 r H \varphi_{d}^{K_1} + 2 \pi r H \times (\varphi_{d}^L +\varphi_{d}^{K_2} ) = S_p \varphi_{d}^{K_1} + S_c (\varphi_{d}^L +\varphi_{d}^{K_2} )

Vérification numérique

On calcule enfin le flux total reçu comme \phi = S_p\varphi_b + \phi_d en [W].

En comparant le modèle analytique du cylindre présenté ci-dessus avec les résultats obtenus sur un cylindre discret à 12 faces (avec l’aide du package pvlib), on obtient les résultats suivants, qui montrent une bonne concordance.

Comparaison des modèles numérique et analytique

Les écarts entre modèles sont donnés ci-dessous et présentent une RMSE inférieure à 0.76 [W/m²] pour les trois flux, ce qui démontre la validité de l’approche.

Différences entre les modèles numérique et analytique.

Résultats

Un exemple de résultat obtenu par la méthode décrite ci-avant est donné sur trois journées estivales dans la figure qui suit. On retrouve les mêmes ordres de grandeur que dans la littérature expérimentale (Kantòr et al. 2018, Park & Tuller 2011) ainsi que le phénomène de rechute zénithale identifié par Kantòr et al. 2013. La comparaison avec la méthode dites « des 6 directions » (aussi décrite ici) offre des résultats similaires.

Flux reçus sur trois journées d’été

L’analogie des résultats avec ceux obtenus par la méthode du facteur de projection, dérivée par Fanger pour un individu, permet de conclure que la méthode de l’intégrale cylindrique est adaptée à la modélisation du flux reçu par l’Homme.

Les résultats obtenus sont du même ordre de grandeur que ceux de la méthode à 6 directions, dont les écueils ont été présentés dans Kantòr et al. 2018.

L’avantage de la technique présentée ici est qu’elle ne requiert que les flux horizontaux direct et diffus, ainsi que la hauteur solaire, généralement présents dans les fichiers météorologiques ou faciles à déterminer avec des outils librement accessibles.

La méthode pourrait être étendue à une ellipse dont la formule analytique est connue afin de se rapprocher d’autres configurations de facteur de projection proposées dans la littérature.

Contribution infra-rouge [en construction]

Le calcul de la contribution en grandes longueurs d’ondes est rendu possible par la détermination des facteurs de forme entre parois en regard.

[à suivre après la conférence IBPSA France 2022…]