Analyse de sensibilité

1. Introduction

Certains modèles sont complexes ou ont un grand nombre de paramètres. Dans ces situations il est souvent délicat de déterminer un classement des paramètres les plus influents et de connaître leurs éventuelles interactions. Diverses méthodes existent pour traiter cette question, on s’intéresse ici à l’analyse de sensibilité selon la méthode de Morris.

À titre d’exemple, regardons l’image animée ci-dessous. Elle figure l’effet d’une poussée sur un solide et du déplacement F qui en résulte. En somme on observe le comportement de la fonction F, le déplacement, par rapport à un paramètre X, la forme. On obtient donc une variation \frac{\Delta F}{\Delta X}, qui est la quantité dont a varié la fonction observée entre deux valeurs du paramètre.

Illustration de l’effet élémentaire : influence de la variation de forme « X » d’un solide sur le déplacement « F » à sollicitation égale (tiré de la présentation de [PFE M. Taupin 2018]).
L’idée de l’analyse de sensibilité est d’effectuer suffisamment de simulations afin d’estimer l’effet moyen de la variation d’un paramètre sur la sortie observée.

2. Principe de la méthode de Morris

Il s’agit d’une méthode d’analyse de sensibilité dite « One at a time », où un seul paramètre est modifié à chaque simulation. La variation de fonction objectif F par rapport à un paramètre X_i est calculée par différence finie entre deux jeux de paramètres identiques à l’exception d’un seul paramètre : voir la figure ci-dessous où les paramètres sont changés un par un et où on évalue l’effet dit « élémentaire » de chacun.

Ainsi, s’il y a d paramètres, il faut d+1 simulations pour évaluer l’effet d’une variation de chacun d’entre eux, soit \frac{\Delta F}{\Delta X_1},\frac{\Delta F}{\Delta X_2},...,\frac{\Delta F}{\Delta X_d}.

Afin de calculer un effet élémentaire moyen \frac{\Delta F}{\Delta X_i}, on génère à nouveau Afin de calculer un effet élémentaire moyen d+1 jeux de paramètres et on répète l’opération un nombre de fois r : il s’agit des « répétitions ».

Tableau figurant la modification d’un paramètre différent à chaque répétition de la simulation (tiré de [PFE M. Taupin 2018]).
Au total on aura donc réalisé n=r\times(d+1) simulations. Une valeur communément admise dans la littérature est r \sim 10, soit un nombre total d’évaluation de l’ordre de n \sim 10 \times d

On traite alors la série des effets élémentaires \frac{\Delta F}{\Delta X_i} de chaque paramètre afin de calculer un effet élémentaire moyen \mu_i et un écart-type \sigma_i. Pour mémoire, plus l’écart-type d’une série est grand, plus les valeurs sont dispersées autour de la moyenne. À titre d’exemple, la figure ci-après représente la variation d’une fonction-objectif par rapport à un paramètre X_1.

Rappel sur les gaussiennes : moyenne et écart-type  de l’effet élémentaire du paramètre [latex]X_1[/latex] sur la fonction objectif « SET » (+/- 2 écarts-types correspondent à ~95% des valeurs sous la courbe) (tiré du PFE M. Taupin 2018]).
Le classement des paramètres se fait alors en fonction du graphe (\mu,\sigma), tel que présenté ci-dessous. Les paramètres influents ont un effet élémentaire moyen élevé : une variation du paramètre engendrera un variation significative de la fonction objectif. Si l’écart-type de la série des effets élémentaires est faible, on considère que l’effet est linéaire. Si cet écart-type est important, notamment s’il est de l’ordre de grandeur de l’effet élémentaire (autrement dit : supérieur ou égal à la première bissectrice), l’effet est non-linéaire ou provoque des interactions avec d’autres paramètres.

Classement des paramètres selon la moyenne de leurs effets élémentaires et leur dispersion (écart-type de la série d’effets élémentaires) (tiré du mémoire de M2R de [F. PEYRE, 2017]).

3. Exemple d’application

Un exemple de résultat appliqué à la thermique des grands volumes est donné dans ce paragraphe.

On veut connaître les paramètres les plus influents dans le cadre de la rénovation d’une verrière. Les paramètres choisis sont l’épaisseur, la conductivité, la capacité thermique massique, la densité, l’absorptivité solaire & visible ainsi que l’émissivité de surface de la dalle de sol ;  le facteur g et le facteur U du vitrage.

La fonction objectif est la moyenne saisonnière des écarts entre l’indicateur SET à l’instant t et le centre de la plage de SET dite confortable (donc la moyenne de 22.2 et 25.5°C SET). La saison d’hiver et celle d’été sont simulées : on observe que le classement des paramètres n’est pas le même en fonction de la saison. L’ordre de grandeur de l’effet élémentaire moyen est de \sim 1 [K] d’écart à la SET de confort.

Exemple de résultat d’analyse de sensibilité selon la méthode de Morris, obtenu avec le package SAlib.