Projection de champs

1. Présentation du problème

Un écueil courant lors de la résolution de problèmes avec des physiques multiples est que l’utilisation de plusieurs outils entraîne souvent la création de maillages différents (voir la figure ci-dessous). Il s’agit alors de projeter les champs sur une grille commune afin de pouvoir réaliser des calculs en un même point de l’espace pour les deux grandeurs calculées.

Différence de maillage entre l’outil pour le calcul des flux solaires et des vitesses d’air sur une géométrie.

Dans la section qui suit, on présente une méthode mathématique permettant de projeter un champ sur un autre, régulier au non.

2. Une méthode de projection : les plus proches voisins

Une technique pour projeter un champ sur l’autre consiste à résoudre un problème de minimisation. On détaille ici la méthode donnée dans code Aster en dimension deux pour l’algorithme des plus proches voisins avec toutefois quelques précisions supplémentaires.

Il s’agit de minimiser les moindres carrés  D entre la fonction F et le champ \varphi sur les N points les plus proches, d’où le nom de la méthode (dans l’équation ci-dessous, l’indice i parcourt N):

D = \sum_{i=0}^{N} w(d) \big(F(x,y)-\varphi_i \big)

Où la fonction F(x,y) vaut, pour chaque point (x_k,y_k) de la grille régulière en 2D :

F(x,y) = a_k + b_k \times x_k + c_k \times y_k

La fonction de pondération w(d) dépend la distance d entre le point (x_i,y_i) du nuage et la grille régulière (x_k,y_k) :

w(d) = e^{-(\frac{d}{d_{r}})^\beta}

d=\sqrt{(x_i-x_k)^2+(y_i-y_k)^2}, d_r est la distance de référence du maillage. Celle-ci peut être optimisée mais en première approximation on prend d_r = \frac{\Delta x}{2}.

Ensuite pour chaque point de la grille régulière (x_k,y_k) on regarde sa distance au point et on pondère par w(d) la valeur du champ \varphi :

\varphi (x,y) = \frac{ \varphi \times \Sigma w(d)}{\Sigma w(d)}

Il s’agit ainsi de trouver les vecteurs [a_k], [b_k], [c_k] qui minimisent les moindres carrés D. Les valeurs identifiées sont naturellement critiques au sens où elles déterminent la qualité du champ projeté par rapport au champ initial : selon la qualité de projection, le champ résultant peut être largement amorti ou amplifié.

Le choix du trio (N,\beta,d_{r}) est également influent : selon la distance entre points du maillage il convient d’avoir un nombre de points N suffisant avec la contrainte que la durée de calcul augmente avec N. De plus, s’il l’on choisit \beta>1, l’influence des points lointains est rapidement amortie lorsque leur distance au point de référence est supérieure à d_{r}

Exemple de champ projeté sur une grille régulière selon la méthode des plus proches voisins.

 

3. Résultats utiles

[En construction – À venir : meilleur algo de minimisation parmi ceux-ci et une exploration des paramètres optimaux]