Théorie
La mécanique des fluides est régie par un jeu d’équations comprenant les équations de Navier-Stokes, que sont les équations de conservation de masse et de quantité de mouvement, ainsi que l’équation de conservation d’énergie. Celles-ci seront brièvement traitées ci-dessous mais des références telles que les publications de [Versteeg et Malalasekera]1 ou de [Ferziger et Peric]2 les présentent de manière plus détaillée et approfondie.
La conservation de la masse
$$ \underbrace{\frac{\partial \rho}{\partial t} }_\mathrm{transitoire} + \underbrace{\vec{\nabla} \cdot (\rho \vec{v})}_\mathrm{advection} = 0 $$
où $\rho$ est la densité du fluide et $\vec{v}$ le vecteur vitesse.
Cette équation stipule que si l’on considère un volume fixe au sein du domaine, la masse de fluide entrant dans le volume est égale à la masse du fluide sortant.
La conservation de la quantité de mouvement
$$ \underbrace{\frac{\partial \rho \vec{v}}{\partial t}}_\mathrm{transitoire}+\underbrace{ \vec{\nabla}\cdot(\rho\vec{v}\otimes\vec{v})}_\mathrm{advection} = \underbrace{- \vec{\nabla} p + \vec{\nabla} \cdot [\tau]}_\mathrm{diffusion} + \underbrace{\rho \vec{g}}_\mathrm{source} $$
où $p$ est la pression du fluide, $\vec{g}$ le vecteur gravité et $[\tau]$ le tenseur des contraintes visqueuses .
Cette équation, dérivée de la deuxième loi de Newton , gouverne le mouvement du fluide. Elle établit que la quantité de mouvement est égale à la somme des forces surfaciques et volumiques agissant sur le fluide.
La conservation d’énergie
$$ \underbrace{\frac{\partial \rho h_{\text{tot}}}{\partial t} - \frac{\partial p}{\partial t}}_{\mathrm{transitoire}} + \underbrace{ \vec{\nabla} \cdot (\rho \vec{v} h_\mathrm{tot})}_{\mathrm{advection}} = \underbrace{\vec{\nabla} \cdot (\lambda \vec{\nabla} T) + W_{\mu}}_\mathrm{diffusion} + \underbrace{S_{\text{h}}}_{\mathrm{source}} $$
où $h_{\text{tot}}$ est l’enthalpie totale du fluide, $\lambda$ la conductivité thermique et \(W_{\mu}\) la dissipation thermique résultante des contraintes visqueuses .
Cette équation, obtenue à partir du premier principe de la thermodynamique , assure la conservation d’énergie au sein d’un volume fixe dans l’espace.
Ces trois équations servent de base aux études actuelles de mécanique des fluides. Des versions différentes de ces équations peuvent être utilisées selon les hypothèses considérées ( fluides incompressibles , approximation de Boussinesq , etc.). Le théorème de Bernouilli , qui est aussi communément utilisé, peut être vu comme l’application de la conservation de la quantité de mouvement à un fluide incompressible, inviscide et en régime stationnaire. Celui-ci peut alors être exprimé avec l’équation suivante:
$$ \frac{p}{\rho}+\frac{v^2}{2}+g z = \mathrm{constante} $$