Calcul de la température radiante moyenne

Définition

La température radiante moyenne $T_{\text{r}}$ est la température uniforme des parois d’une enceinte qui provoquerait le même échange radiatif que l’environnement réel étudié. Ce dernier pouvant être complexe, intégrant des flux solaires $\varphi$ ou des surfaces de températures très différentes, elle permet de les agréger en un seul indicateur.

Mathématiquement, cela revient à écrire ce qui suit :

$$ \sigma \epsilon S T_{\text{r}}^4 = \alpha S \varphi + \sigma \epsilon \sum_{i=1}^{n} S_i F_i T_i^4 $$

où les $F_i$ sont les facteurs de forme entre surfaces en regard à température $T_i$ et le corps étudié.

Dans la suite, nous allons aborder la contribution du rayonnement solaire à la température radiante, puis la contribution du rayonnement infrarouge.

Contribution solaire

Une méthode brute pour calculer la composante en courte longueurs d’onde est d’appliquer la méthode du facteur de projection qui considère que le flux direct normal $\varphi^\perp$ est appliqué sur le corps humain avec un facteur de projection tenant compte de la nature cylindrique du corps humain :

$$ \varphi = \alpha \varphi^\perp f_{\text{p}}(h) $$

Où le facteur de projection dépend de la hauteur solaire $f_{\text{p}}(h) = 0,233 \cos(h)+ 0,067$.

Cette méthode simple peut être affinée à condition de considérer la contribution solaire comme divisée en partie diffuse $\varphi_{\text{d}}$ et directe $\varphi_{\text{b}}$, traitées séparément du fait de leur nature, comme décrit dans les sections qui suivent.

Flux direct

Le flux direct arrivant sur un individu considéré comme cylindrique peut se calculer de manière analytique à partir du flux direct sur un plan horizontal $\varphi_{\text{b}}^h$ , de la hauteur solaire $h$ et de l’angle d’incidence $i$ :

$$ \varphi_{\text{b}} = \varphi_{\text{b}}^{\text{h}} \times \frac{\cos(i)}{\sin(h)} $$

Le flux reçu sur le cylindre est calculé analytiquement à partir de la configuration géométrique qui suit et de l’angle d’incidence $\theta$ par rapport à la normale à la surface du cylindre :

Cela se traduit par l’intégrale suivante, dont le résultat est la surface projetée orthogonale au rayonnement, qui par la nature du cylindre, est toujours azimutale (c’est-à-dire dans l’axe des des rayons du soleil) :

$$ \phi_{\text{b}} = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \varphi_{\text{b}} \cos(\theta) r H d\theta = 2 \varphi_{\text{b}} r H = S_p \varphi_{\text{b}} $$

Remarque : en pratique l’utilisation de cette méthode donne des résultats sensiblement équivalents au $f_{\text{p}}$ pour le flux direct (voir notre [Walther & Hamdani]¹)

La valeur des flux directs reçus calculés par la méthode du $f_{\text{p}}$ est cependant légèrement plus élevée, comme en témoigne la comparaison des modèles présentée ci-dessous.

Flux diffus

On utilise le modèle de flux diffus de Perez² ( plus de détails ) qui considère les contributions circumsolaire, de l’horizon et du dôme isotropique, comme présenté ci-dessous :

Dans la suite, on fait l’hypothèse que les contributions du dôme ($L$) et de l’horizon ($K_2$) sont isotropes sur le cylindre et que la contribution circumsolaire anisotrope ($K_1$) se comporte de manière spéculaire, comme si elle éclairait “directement” la scène (voir l’illustration ci-dessous).

L’équation du flux diffus reçu est donc calculée telle que :

$$ \phi_{\text{d}} = 2 r H \varphi_{\text{d}}^{K_1} + 2 \pi r H \times (\varphi_{\text{d}}^L +\varphi_{\text{d}}^{K_2} ) = S_{\text{p}} \varphi_{\text{d}}^{K_1} + S_{\text{c}} (\varphi_{\text{d}}^L +\varphi_{\text{d}}^{K_2} ) $$

Vérification numérique

On calcule enfin le flux total reçu comme $\phi = S_{\text{p}}\varphi_{\text{b}} + \phi_{\text{d}}$ en [W].

En comparant le modèle analytique du cylindre présenté ci-dessus avec les résultats obtenus sur un cylindre discret à 12 faces (avec l’aide du package pvlib ), on obtient les résultats suivants, qui montrent une bonne concordance.

Les écarts entre modèles sont donnés ci-dessous et présentent une RMSE inférieure à 0,76 [W/m²] pour les trois flux, ce qui démontre la validité de l’approche.

Résultats

Un exemple de résultat obtenu par la méthode décrite ci-avant est donné sur trois journées estivales dans la figure qui suit. On retrouve les mêmes ordres de grandeur que dans la littérature expérimentale [Kantòr et al. 2018]³, [Park & Tuller 2011]⁴) ainsi que le phénomène de rechute zénithale identifié par [Kantòr et al. 2013]⁵. La comparaison avec la méthode dites “des 6 directions” (aussi décrite ici ) offre des résultats similaires.

L’analogie des résultats avec ceux obtenus par la méthode du facteur de projection, dérivée par Fanger pour un individu, permet de conclure que la méthode de l’intégrale cylindrique est adaptée à la modélisation du flux reçu par l’Homme.

Les résultats obtenus sont du même ordre de grandeur que ceux de la méthode à 6 directions, dont les écueils ont été présentés dans [Kantòr et al. 2018]³.

L’avantage de la technique présentée ici est qu’elle ne requiert que les flux horizontaux direct et diffus, ainsi que la hauteur solaire, généralement présents dans les fichiers météorologiques ou faciles à déterminer avec des outils librement accessibles.

La méthode pourrait être étendue à une ellipse dont la formule analytique est connue afin de se rapprocher d’autres configurations de facteur de projection proposées dans la littérature.

Contribution infra-rouge

Le calcul de la contribution en grandes longueurs d’ondes est rendu possible par la détermination des facteurs de forme entre parois en regard. On utilise à cet effet le code de pyViewFactor décrit dans notre article d’IBPSA 2022 ⁶.

Principe de calcul

En prenant une représentation géométrique de l’individu comme un octogone, on souhaite calculer la contribution de différentes parois d’une pièce. Le facteur de forme de rayonnement est défini comme le rapport des flux reçus par une paroi (ou un ensemble de parois) et du flux total “sortant” de la part de la paroi émettrice. Ainsi on peut le calculer en sommant les flux entre les \(n\) facettes d’une paroi maillée et les 9 faces de “l’octogone” :

$$ F_{\text{p}} = \frac{ \sigma \epsilon \sum_{j=1}^{9} \sum_{i=1}^{n} S_i F_{ij} T_{\text{p}}^4 }{ \sigma \epsilon S T_{\text{p}}^4} = \frac{ \sum_{j=1}^{9} \sum_{i=1}^{n} S_i F_{ij}}{ S} $$

Facteurs de forme des parois vers un individu au centre d’une pièce

Une application de cette méthode est le calcul de la contribution de chaque paroi au bilan radiatif d’un individu situé au centre d’une pièce, comme présenté sur la figure qui suit.

Le calcul est mené pour différentes longueurs de pièce : les résultats sont donnés sur la figure ci-dessous. L’individu étant positionné au centre de la zone, on observe que la contribution des parois verticales diminue sensiblement avec la taille de la pièce. À partir d’une zone de $\sim 6$ mètres, on constate que les contributions des différentes parois sont sensiblement équivalentes : un tiers pour le sol, un tiers pour le plafond et un tiers pour les quatre murs de la pièce.

Facteurs de forme des parois en fonction des positions dans la pièce

On s’intéresse désormais à l’influence des différentes parois en fonction de la position au sol de l’individu. Le même calcul est conduit pour chaque maille de sol de la pièce, en repositionnant successivement l’individu-octogone dans l’espace.

On obtient les cartographies suivantes, donnant le facteur de forme de chaque paroi vers l’individu, en fonction de sa position dans la pièce :

Température radiante spatialisée

Il devient ainsi possible de calculer la température radiante dans la pièce en fonction de la position de l’individu. Pour la déterminer, on résout l’équation en $T_{\text{r}}$ donnant la température radiante des parois de la pièce qui provoquerait le même échange radiatif que les parois existantes, avec leurs surfaces et facteurs de forme respectifs :

$$ \sigma \epsilon \sum_{i=1}^{n} S_i F_{i} T_{\text{r}}^4 = \sigma \epsilon \sum_{i=1}^{n} S_i F_i T_i^4 $$

Soit

$$ T_{\text{r}} = \sqrt[4] { \frac{ \sum_{i=1}^{n} S_i F_i T_i^4 }{\sum_{i=1}^{n} S_i F_{i} } } $$

En effectuant le calcul sur une pièce cubique où les parois sont à 20°C, sauf un mur à 0°C, on obtient le résultat suivant, qui montre une disparité de $\sim 6$ K d’écart de température radiante.

Pour une configuration plus complexe, un technicentre de maintenance de trains par exemple, incluant des fenêtres, des panneaux radiants, un train à température extérieure, on obtient les résultats suivants :

Abaques de facteur de forme entre une personne et une paroi

Afin d’actualiser et de rendre plus lisibles les travaux de Fanger présentant le facteur de forme entre un individu et différentes paroi (voir l’exemple ci-après donnant le facteur de forme avec un plafond), nous allons utiliser le package pyViewFactor .

La géométrie de l’individu est tirée de l’exemple du doorman de PyVista . Afin d’alléger les calculs, une version comprenant moins de cellules a été créée en utilisant le filtre decimate. À titre d’exemple, l’image ci-dessous donne le facteur de forme entre les facettes composant l’individu et le sol.

L’abaque résultant est donné ci-dessous :

L’abaque de facteur de forme d’un individu vers un plafond de dimensions $a$, $b$=longueur, largeur et de hauteur $c$ est donné ci-dessous.

Le facteur de forme entre un individu et une paroi tel que sur la figure qui suit est donné sur l’abaque ci-après (l’orientation de l’individu influe marginalement sur le résultat).